En, is het een schandaal?

Emanuel Rutten betoogt dat er een schandaal in de propositielogica is. Één van de meest basale beweringen, de implicatie, klopt volgens hem niet. Hij geeft twee voorbeelden om zijn bewering te staven:
(1) Brigitte heeft blauwe verf en (2) zij heeft gele verf. (3) Zij kan daarmee groene verf maken.
Zijn andere voorbeeldzin:
Als (1) Jan ouder is dan 20 en (2) jonger dan 30, dan (3) is hij tussen de 20 en 30 jaren oud.
Prima stellingen en conclusie, daar is niets mis mee. Echter wel in de formele logica. In de formele logica is deze laatste redenatie bijvoorbeeld gelijk aan de volgende redenatie, die pijn doet aan de ogen:
Of (1) Jan is ouder dan 20 veroorzaakt dat (3) hij tussen de 20 en 30 jaren oud is of dat (2) Jan jonger is dan 30 veroorzaakt dat (3) hij tussen de 20 en 30 is.
Dat klopt niet. Beide stellingen tezamen maken de conclusie nodig. Niet een van beiden afzonderlijk is daartoe in staat. Goed punt van hem.

In de logica geldt dat de implicatie 'als P dan Q' (in logica P → Q) gelijk is aan 'niet P of Q' (in logica ¬P ∨ Q). Gelijk aan wil zeggen dat elke implicatie herschreven kan worden in de vorm 'niet P of Q' en dat er dan een volwaardig logische bewering staat die op dezelfde manier waar is als de bewering 'als P dan Q'.
De bovenstaande beweringen van Rutten bestaan uit twee stellingen, die allebei waar moeten zijn om tot een geldige conclusie te komen. Dat maakt voor het principe van de gelijkstelling niet uit. Nog steeds moet na omzetting een volwaardige logische bewering ontstaan die op dezelfde manier waar is als de bewering 'als P dan Q'.
Als voorbeeld neem ik de stelling over de leeftijd van Jan, omdat die over getallen gaat en getallen een continuüm zijn. Groen is een nieuwe eigenschap, leeftijd is een getal en bij getallen is het daarom eenvoudiger in te zien of een stelling klopt of niet. Er gebeurt als het goed is niets nieuws. De ontkenning van de twee stellingen (A en B) is dat minimaal één stelling niet waar is, dat wil zeggen 'niet A of niet B' ( in logica ¬A ∨ ¬B). Als de zin van Jan hierin omgezet wordt, dan onstaan de volgende stellingen, waarin de eerste twee beweringen ontkend gaan worden en 'en' verandert in 'of', maar de conclusie gehandhaafd blijft:
(1) Jan is niet ouder dan 20, of
(2) Jan is niet jonger dan 30, of
(3) Jan is tussen de 20 of 30.
Taalkundige onzin. De ontkenningen van de eerste twee stellingen maken het onmogelijk om de conclusie te trekken.

Wat betekent het dat twee formules, die elkaars gelijken zijn en formeel logisch gezien in elkaar over kunnen gaan, in de praktijk zoiets anders kunnen betekenen? Waar ontstaat de onzichtbare overgang in betekenis, die logisch gezien niet ontstaat, maar linguïstisch er wel degelijk is?

Eerst nog wat uitleg over wat er zou moeten gelden volgens de logica. In de logica kunnen zinnen in elkaar omgezet worden. Twee verschillende beweringen kunnen hetzelfde betekenen. Dat kan ook bewezen worden. Hoe, dat laat ik hier buiten beschouwing, maar het belangrijkste is dat beweringen met behoud van betekenis in elkaar omgezet kunnen worden. De beweringen, die logisch gezien equivalent aan elkaar zijn, maar in de voorbeeldzinnen van Emanuel Rutten hopeloos falen, zijn:
als P en Q dan R, in logica P ∧ Q → R
is gelijk aan
als P dan R of als Q dan R, in logica (P → R) ∨ ((Q → R)
en aan
niet P of niet Q of R, in logica ¬P ∨ ¬Q ∨ R.

Voor wie niet thuis is in de logica is dat te abstract om te begrijpen. Daarom nu meteen een voorbeeldzin, waarin deze gelijkheid van beweringen ervaren kan worden:
Eerst de basisvorm (P ∧ Q) → R:
'als ik banaan met crème fraîche eet word ik dikker.'
Dit is betekenisvol om te zetten naar (P → R) of (Q → R) in
'of als ik banaan eet dan wel crème fraîche word ik dikker.'
Het is ten slotte eveneens betekenisvol om te zetten naar ¬P of ¬Q of R:
'of ik eet geen banaan, of ik eet geen crème fraîche of ik word dikker.'
Volkomen plausibele zinnen die prima uitwisselbaar zijn. Uiteraard zijn er nog meer ingrediënten waardoor je dikker kan worden, maar gegeven deze lijst klopt het wel.

Het verschil tussen deze voorbeeldzin, waarin het wel werkt, en de zinnen van Emanuel Rutten, is dat in de laatste voorbeeldzin er niets nieuws ontstaat. In beide zinnen van Emanuel Rutten ontstaat er iets nieuws, dat in de stellingen nog niet aanwezig was. In het voorbeeld van Brigitte kan groen pas ontstaan, nadat geel en blauw samengevoegd zijn. Evenzo kan de conclusie dat Jan tussen de 20 en 30 jaren oud moet zijn, pas ontstaan nadat beide uitspraken gedaan zijn. Het woord 'en' wordt in beide zinnen op dezelfde manier gebruikt: als een opeenstapeling.
In de logica wordt 'en' daarentegen gebruikt als een nevenschikking, want de twee zinnen worden voorondersteld onafhankelijk van elkaar te zijn. In een zin als 'hij gaat naar Noorwegen en Zweden op vakantie' zijn Noorwegen en Zweden nevenschikkingen van elkaar. Het zijn in Noorwegen of Zweden is in principe onafhankelijk van elkaar. Beide is op elk moment mogelijk. Zijn in Noorwegen sluit uit dat hij in Zweden is (het moment van overschrijden van de grens even uitsluitend). Let wel, hoe we als mens dit betekenisvol kunnen vinden, maar de zin 'hij gaat naar Noord- en Zuid-Korea op vakantie' met verbazing zullen vernemen. 'Hoe doet hij dat?' zal de eerste vraag zijn. Dus ook dan is er nog een toets aan de realiteit die in de logica niet bestaat. Voor de logica zijn deze twee zinnen exact hetzelfde, voor de mens in de natuurlijke taal niet, want de vooronderstelde onafhankelijkheid dat de gebeurtenis zomaar op kan treden is verdwenen.
Emanuel Rutten heeft de onafhankelijkheid van de twee stellingen niet gehandhaafd, wat op zich prima is, waardoor de beperking van de logica aantoonbaar gemaakt is. Als je de kromme zin over de leeftijd van Jan opnieuw leest en daarbij bedenkt dat de 'en' in logica over nevenschikkingen gaat, die onafhankelijk van elkaar moeten zijn:
'Of (1) Jan is ouder dan 20 veroorzaakt dat (3) hij tussen de 20 en 30 jaren oud is of dat (2) Jan jonger is dan 30 veroorzaakt dat (3) hij tussen de 20 en 30 is.',
dan wordt de zin opeens een stuk begrijpelijker. Nog steeds absolute onzin, maar het is wel duidelijk waar de onzinnigheid vandaan komt. En het wordt begrijpelijk dat een bewering met 'en' omgezet kan worden naar een bewering waarin 'of' gebruikt wordt, want als iets een nevenschikking aanduidt, dan is het voegwoord 'of'.

Wat Emanuel Rutten mijns inziens goed onder de aandacht heeft gebracht is dat 'en' in de natuurlijke taal niet altijd hetzelfde is, waar dat in de logica wel altijd voorondersteld wordt. Derhalve zijn er zinnen die in de natuurlijke taal wel zinvol zijn, maar in de logica niet goed met het logische 'en' uitgedrukt kunnen worden. Dat gebeurt als de twee stellingen niet onafhankelijk van elkaar zijn. In de natuurlijke taal levert dat geen probleem op, in de logica op deze wijze een onlogica.
Derhalve moet het 'en' gebruikt door Emanuel Rutten, op andere wijze in de logica vormgegeven worden. De conclusie blijft een implicatie, het pijltje → blijft gehandhaafd, maar het is niet meer 'P en Q' (in logica P ∧ Q). Het 'en' dat Emanuel Rutten gebruikt, handelt over stellingen die binnen dezelfde verzameling werkzaam zijn. Dan praat met niet over 'en' maar over 'doorsnede' en dat bestaat wel in de logica. Dat wordt aangeduid met het symbool ∩. In dat geval zou de stellingen van Emanuel Rutten in het algemeen beschreven kunnen worden met 'uit de doorsnede van P en Q volgt R' (in logica P ∩ Q → R).
Bij een doorsnede is het bekend dat de twee verzamelingen elkaar kunnen overlappen. Waar de kleuren blauw en geel elkaar overlappen, dat is waar zij hun doorsnede hebben, daar ontstaat groen. Waar de leeftijd van Jan boven de 20 is en waar de leeftijd van Jan onder de 30 is, daar is de leeftijd van Jan tussen de 20 en de 30.

Dus is het daadwerkelijk een schandaal in de propositielogica? Nee, Emanuel Rutten heeft laten zien dat er meerdere vormen van het voegwoord 'en' in de taal zijn en dat het niet altijd even makkelijk is om dat onderscheid te maken. Hij heeft laten zien dat er nauwkeurig gekeken moet worden naar een juiste omzetting van een stelling in natuurlijke taal naar een logische formulering en dat dat lang niet altijd zo eenvoudig is.